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李超树

李超树是用于高效维护多个一次函数在某点极值的数据结构。

我们可以以类似权值线段树的形式,将一次函数的定义域作为线段树的区间。

当我们加入一条一次函数时,会与另外一条一次函数在一个区间内产生以下三种情况:

  • 完全在其上方
  • 完全在其下方
  • 存在一个交点

因为我们维护的仅有极值,只需要对旧极值一条一次函数进行判断。

对于前两种情况,直接覆盖区间即可。

而如果发现存在一个交点,则递归往交点所在的子区间下放标记。

举例来说,假设两条一次函数分别为 \(f(x)\)\(g(x)\)

  • 在区间中点处 \(f(mid)\) 更优,则将 \(f\) 作为区间的标记。
  • 但发现在区间右端点处 \(g(r)\) 更优,说明在 \(mid - r\) 之间存在一个交点。因此向右区间递归下去。

查询则一路取标记中的极值即可。

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struct L {
double k;
double b;

double operator()(const int& x) { return k * x + b; }
} tree[MAX_N << 2];

void SegTree::mod(int x, int l, int r, L mv) {
const auto mid = (l + r) >> 1;
if (tree[x](mid) <= mv(mid)) {
std::swap(tree[x], mv);
}
if (l == r) {
return;
}
if (tree[x](l) <= mv(l)) {
mod(lc, l, mid, mv);
} else if (tree[x](r) <= mv(r)) {
mod(rc, mid + 1, r, mv);
}
}

double SegTree::query(int x, int l, int r, const int& qk) {
if (l == r) {
return tree[x](qk);
}
const auto mid = (l + r) >> 1;
if (qk <= mid) {
return std::max(tree[x](qk), query(lc, l, mid, qk));
} else {
return std::max(tree[x](qk), query(rc, mid + 1, r, qk));
}
}

例1

板子题。也许主要的难度在于处理读入。1

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#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <memory>

constexpr int MAX_N = 1000050;
constexpr int N = 1000000;

class SegTree {
public:
struct L {
double k;
double b;

// 请注意本题中天数从 1 开始
double operator()(const int& x) { return k * (x - 1) + b; }
} tree[MAX_N << 2];

SegTree() = default;
~SegTree() = default;

void mod(int x, int l, int r, L mv);

double query(int x, int l, int r, const int& qk);
};

template <typename T>
T read();

template <typename T>
void read(T& t);

template <typename T, typename... Args>
void read(T& t, Args&... rest);

template <>
char read();

template <>
double read();

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);

auto segTree = std::make_unique<SegTree>();
int T;
read(T);
while (T--) {
char op;
read(op);
if (op == 'P') {
double b, k;
read(b, k);
segTree->mod(1, 1, N, {k, b});
} else if (op == 'Q') {
int x;
read(x);
std::cout << (int)(segTree->query(1, 1, N, x)) / 100 << '\n';
}
}

return 0;
}

#define lc (x << 1)
#define rc ((x << 1) | 1)

void SegTree::mod(int x, int l, int r, L mv) {
const auto mid = (l + r) >> 1;
if (tree[x](mid) <= mv(mid)) {
std::swap(tree[x], mv);
}
if (l == r) {
return;
}
if (tree[x](l) <= mv(l)) {
mod(lc, l, mid, mv);
} else if (tree[x](r) <= mv(r)) {
mod(rc, mid + 1, r, mv);
}
}

double SegTree::query(int x, int l, int r, const int& qk) {
if (l == r) {
return tree[x](qk);
}
const auto mid = (l + r) >> 1;
if (qk <= mid) {
return std::max(tree[x](qk), query(lc, l, mid, qk));
} else {
return std::max(tree[x](qk), query(rc, mid + 1, r, qk));
}
}

#undef lc
#undef rc

template <typename T>
T read() {
T x = 0, f = 1;
char ch = getchar_unlocked();
while (!isdigit(ch)) {
if (ch == '-') f = -1;
ch = getchar_unlocked();
}
while (isdigit(ch)) {
x = x * 10 + ch - 48;
ch = getchar_unlocked();
}
return x * f;
}

template <typename T>
void read(T& t) {
t = read<T>();
}

template <typename T, typename... Args>
void read(T& t, Args&... rest) {
t = read<T>();
read(rest...);
}

template <>
char read() {
char ch = getchar_unlocked();
while (ch != 'Q' and ch != 'P') {
ch = getchar_unlocked();
}
return ch;
}

template <>
double read() {
long long x = 0, f = 1, k = 0, b = 0;
bool g = false;
char ch = getchar_unlocked();
while (!isdigit(ch)) {
if (ch == '-') f = -1;
ch = getchar_unlocked();
}
while (isdigit(ch) or ch == '.') {
if (ch == '.') {
g = true;
} else if (!g) {
x = x * 10 + ch - 48;
} else {
b = b * 10 + ch - 48;
k++;
}
ch = getchar_unlocked();
}
return f * (std::pow(0.1, k) * b + x);
}

例2

  • 给定 \(a_i, b_i\) ,其中 \(i \in [1,n]\)
  • 每次询问给出 \(p, k\),求 \[ \max_{l \le p \le r}{\left( \sum_l^r{a_i} - k(\sum_l^r{b_i}) \right)} \]

首先对于包含 \(p\) 这个要求进行转化,可以转化为 \[\max_{1 \le l \le r \le p} + \max_{p+1 \le l \le r \le n}\]

我们以式子左半边为例,即 \[ \max_{1 \le l \le r \le p}{\left( \sum_{i=l}^r{a_i} - k(\sum_{i=l}^r{b_i}) \right)} \]

假设有 \[sa_x=\sum_{i=1}^{x}{a_i}, sb_x=\sum_{i=1}^{x}{b_i}\]

可以将原式转化成 \[\max_{1 \le l \le r \le p}{\left( \left( sa_r - sa_{l-1} \right) - k\left( sb_r - sb_{l-1} \right) \right)}\]

即是 \[ sa_r - k sb_r - \min_{0 \le l < r}{\left( k sb_l - sa_l \right)} \]

注意到 \(sb_l k - sa_l\) 是一次函数的形式,因此用李超树维护即可。

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#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <memory>

using ll = long long;

constexpr int MAX_N = 1000050;
constexpr int N = 1000000;
constexpr ll INF = LLONG_MAX >> 4;

int a[MAX_N], b[MAX_N];
struct Q {
int p;
int k;
int i;
} q[MAX_N];

class SegTree {
public:
struct L {
ll k;
ll b = INF;
L() = default;
L(ll k, ll b) { this->k = k, this->b = b; }
// fxxk C++11, we need C++14!

ll operator()(const ll& x) { return k * x + b; }
} tree[MAX_N << 3];

SegTree() = default;
~SegTree() = default;

void mod(int x, int l, int r, L mv);

ll query(int x, int l, int r, const ll& qk);
};

ll ans[MAX_N];

template <typename T>
T read();

template <typename T>
void read(T& t);

template <typename T, typename... Args>
void read(T& t, Args&... rest);

int main() {
std::ios::sync_with_stdio(false);

int n, m;
read(n, m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
read(a[i], b[i]);
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
read(q[i].p, q[i].k);
q[i].i = i;
}
std::sort(q + 1, q + m + 1,
[](const Q& x, const Q& y) { return x.p < y.p; });

{
std::unique_ptr<SegTree> segTree(new SegTree());
ll sa{}, sb{};
int i{1};
for (int j = 1; j <= m; j++) {
while (i <= n and i <= q[j].p) {
segTree->mod(1, -N, N, {-sb, sa});
sa += a[i];
sb += b[i];
i++;
}
ans[q[j].i] += sa - sb * q[j].k - segTree->query(1, -N, N, q[j].k);
}
}
{
std::unique_ptr<SegTree> segTree(new SegTree());
ll sa{}, sb{};
int i{n};
for (int j = m; j >= 1; j--) {
while (i >= 1 and i > q[j].p) {
segTree->mod(1, -N, N, {-sb, sa});
sa += a[i];
sb += b[i];
i--;
}
ans[q[j].i] += std::max(
0ll, sa - sb * q[j].k - segTree->query(1, -N, N, q[j].k));
}
}

for (int i = 1; i <= m; i++) {
std::cout << ans[i] << '\n';
}

return 0;
}

#define lc (x << 1)
#define rc ((x << 1) | 1)

void SegTree::mod(int x, int l, int r, L mv) {
const auto mid = (l + r) >> 1;
if (tree[x](mid) >= mv(mid)) {
std::swap(tree[x], mv);
}
if (l == r) {
return;
}
if (tree[x](l) >= mv(l)) {
mod(lc, l, mid, mv);
} else if (tree[x](r) >= mv(r)) {
mod(rc, mid + 1, r, mv);
}
}

ll SegTree::query(int x, int l, int r, const ll& qk) {
if (l == r) {
return tree[x](qk);
}
const auto mid = (l + r) >> 1;
if (qk <= mid) {
return std::min(tree[x](qk), query(lc, l, mid, qk));
} else {
return std::min(tree[x](qk), query(rc, mid + 1, r, qk));
}
}

#undef lc
#undef rc

template <typename T>
T read() {
T x = 0, f = 1;
char ch = getchar_unlocked();
while (!isdigit(ch)) {
if (ch == '-') f = -1;
ch = getchar_unlocked();
}
while (isdigit(ch)) {
x = x * 10 + ch - 48;
ch = getchar_unlocked();
}
return x * f;
}

template <typename T>
void read(T& t) {
t = read<T>();
}

template <typename T, typename... Args>
void read(T& t, Args&... rest) {
t = read<T>();
read(rest...);
}

  1. [JSOI2008]Blue Mary开公司